[이산수학] 함수

 

 

함수

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1. 함수(Function)?

함수는 두 집합 사이의 관계를 나타내는 규칙입니다. 예를 들어, X에서 Y로의 함수는 집합 X의 각 원소들이 집합 Y의 원소들에 대응되는 관계를 의미하는데, 이때 X의 원소는 오직 하나의 Y 원소에 대응되어야 합니다.

 

이때, 함수가 f라면 집합 X는 f의 "정의역(domain)"이라 하고, 집합 Y는 f의 "공역(codomain)"이라고 합니다. 그리고 집합 X의 원소 x가 매핑되는 집합 Y의 원소 y는 "f(x)"라고 표현하며, 함수는 관계를 나타내는 것이기 때문에 xfy 또는 f: X → Y라고 표현도 가능합니다. 이때 함수 f는 x를 y로 사상한다고 하여 y를 x에 대한 "상(image)"이라고 합니다. 또한, 이 상의 집합을 "치역(range)"이라고 합니다.

f가 X에서 Y로의 관계라면,
∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, f(x) = y

 

그리고 함수 f, g가 있을 때, 정의역과 공역이 같으며, 정의역 내 모든 원소(x)들에 대해 f(x) = g(x)라면 f와 g는 "상등(equal)"하다고 합니다.

if ∀x ∈ X, f(x) = g(x),
then f = g

 

2. 특징적인 함수

함수는 정의역, 공역, 치역 간 관계 특징에 따라 다른 유형으로 분류될 수 있습니다.

 

2.1. 전사함수(Surjective function)

전사함수는 공역 내 모든 원소가 정의역 내 임의의 원소들에 모두 대응이 되는 상태를 의미합니다. 즉, 공역과 치역이 일치하는 상태입니다.

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y

 

2.2. 단사함수(Injective function)

단사함수는 "일대일대응함수"라고도 표현하며, 치역의 임의의 원소와 대응하는 정의역의 원소가 1개 뿐인 상태를 의미합니다.

if ∀x₁, ∀x₂ ∈ X, f(x₁) = f(x₂)
then x₁ = x₂

 

2.3. 전단사함수(Bijective function)

전단사함수는 전사함수와 단사함수의 특징을 모두 가지고 있는 상태입니다.

 

2.4. 역함수(Inverse function)

역함수는 함수 f의 정의역과 치역이 뒤바뀐 상태를 의미합니다. 정의역과 치역이 뒤바뀐 상태에서도 "정의역의 원소는 오직 단 하나의 공역의 원소와 대응되어야 한다"는 함수의 정의를 벗어나지 않기 위해서는 함수 f는 전단사함수라는 전제가 있어야합니다. 함수 f의 역함수는 "f^-1"로 표현이 됩니다.

f : X → Y가 전단사함수라면,
∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, f^-1(y) = x

 

2.5. 합성함수(Composite function)

합성함수는 2개 이상 함수의 정의역, 치역간 포함관계가 있을 때, 함수들의 조합을 통해 새로운 함수를 만드는 것입니다. 그리고 함수 f, g가 있을 때 f와 g의 합성함수는 "(f∘ g)(x)"로 나타낼 수 있으며, 순서가 뒤바뀌면 다른 순서의 관계를 의미하게 되므로 f ∘ g와 g ∘ f는 다른 결과를 가져오는 합성함수일 수 있습니다.

(예시)
f, g가 각각 f : X → Y, g : A → B의 관계를 가진 함수일 때, Y ⊂ A라면,
∀x ∈ X, (g ∘ f)(x) ≡ g(f(x))

 

그리고 이러한 관계 덕분에 f와 g가 모두 전사함수일 경우, f와 g의 합성함수는 전사함수가 되고, f와 g가 모두 단사함수일 경우 f와 g의 합성함수는 단사함수가 됩니다.

 

3. 함수의 연산법칙

f, g, h는 임의의 함수이고, a, b는 임의의 실수일 때 아래 관계들은 성립합니다.

연산법칙	관계
교환 법칙	f + g = g + f
결합 법칙	f + (g + h) = (f + g) + h f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h (ab)f = a(bf)
항등원	f + 0 = f
역원	f(x) ∘ f-1(x) = f-1(x) ∘ f(x) = x
분배 법칙	(a + b)f = af + bf a(f + g) = af + ag

 

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참조

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