[이산수학] 행렬

행렬

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1. 행렬(Matrix)

행렬은 숫자들을 직사각형 모양으로 배열한 것으로, m개의 행과 n개의 열로 이루어진 배열을 m x n행렬이라고 합니다. 이때, 임의의 행렬 A를 구성하는 수 중 i번째 행, j번째 열에 위치한 수를 행렬 A의 (i, j) 원소라고 하며, a_ij로 표기합니다.

 

2. 행렬의 종류

2.1. 영행렬(Zero matrix)

모든 원소가 0인 행렬입니다. 대문자 o인 "O"로 표현합니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}

 

2.2. 정방행렬(Square matrix)

행과 열의 개수가 같은 행렬입니다. 행과 열의 개수가 n일 경우 이때의 정방행렬은 "n차 정방행렬"이라고 합니다. 그리고 이 때 행렬 원소 a_ij에서 i = j 인 원소들을 "대각원소"라고 하며, 대각원소들을 포함하는 대각선을 "주대각선"이라고 합니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

2.3. 전치행렬(Transpose matrix)

행과 열을 서로 바꾼 행렬입니다. 기호로는 A^T로 표현하며, 행렬 A가 m × n 행렬이라면 A^T는 n × m 행렬이 됩니다.

(예시)
행렬 A
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}

행렬 A^T
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix}

 

2.4. 대칭행렬(Symmetric matrix)

n차 정방행렬에서 모든 i, j에 대해 a_ij = a_ji를 만족하는 행렬입니다. 즉, A = A^T를 만족합니다. 대칭행렬은 특별한 성질들이 존재하여 선형 대수학에서 고유값 분해, 최적화 문제 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{pmatrix}

 

2.5. 교대행렬(Skew symmetric matrix)

n차 정방행렬에서 모든 i, j에 대해 a_ij = -a_ji을 만족하고, 대각원소는 모두 0인 행렬입니다. 즉, A = -A^T를 만족합니다. 교대행렬은 선형 대수학에서 회전 변환 문제 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}

 

2.6. 대각행렬(Diagonal matrix)

n차 정방행렬에서 대각원소를 제외한 나머지 원소가 0인 행렬입니다. 즉, 대각행렬은 대칭행렬이기도 합니다. 대각행렬은 고유값과 고유벡터를 구하는 데에 사용됩니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

2.7. 단위행렬(Unit matrix)

n차 정방행렬에서 모든 대각원소가 1인 행렬입니다. 즉, 단위행렬은 대칭행렬이기도 합니다. 또한, 단위행렬의 역행렬은 같은 차수의 단위행렬입니다. 단위행렬은 보통 대문자 i인 "I"로 표기합니다. 단위행렬은 행렬의 항등원 역할을 하기 때문에 행렬 연산에서 굉장히 중요한 역할을 합니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

2.8. 삼각행렬(Triangular matrix)

n차 정방행렬에서 주대각선 아래의 모든 원소들이 0일 경우 "상삼각행렬(upper triangular matrix)"이라고 하며, 주대각선 위의 모든 원소들이 0일 경우 "하삼각행렬(lower triangular matrix)"이라고 합니다.

(예시)
상삼각행렬
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

하삼각행렬
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

2.9. 역행렬(Inverse matrix)

역행렬은 임의의 n차 정방행렬과 곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬을 의미하며, 행렬 A의 역행렬은 A^-1로 표현합니다. 즉, AA^-1 = A^-1A = I를 만족합니다. 임의의 n차 정방행렬의 역행렬은 항상 존재하지는 않으며, 이때 역행렬이 존재하는 행렬은 "가역행렬(invertible matrix)", 역행렬이 존재하지 않는 행렬은 "특이행렬(singular matrix)"이라고 합니다. 역행렬은 연립방정식, 고유값, 고유벡터 계산을 포함해 선형 변환등 여러 분야에서 중요하게 사용됩니다.

(예시)
행렬 A
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

행렬 A^-1
\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

2.10. 부울행렬(Boolean matrix)

원소가 참(1) 또는 거짓(0)으로 구성된 행렬입니다. 논리 연산에 주로 사용되며, 그래프 이론에서 인접 행렬로서 사용되기도 합니다.

(예시)
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

3. 행렬의 연산

행렬 A는 i × j 행렬 B는 m × n크기인 임의의 행렬이란 가정 하에 아래 연산들을 소개합니다.

3.1. 합(Addition)

A, B의 크기가 같을 때 동일한 위치의 원소끼리 더하는 연산입니다. A + B로 표현합니다. 합은 교환법칙이 성립합니다.

if i = m, j = n, A + B = C
then c_ij = a_ij + b_ij

A + B = B + A

 

3.2. 차(Subtraction)

A, B의 크기가 같을 때 동일한 위치의 원소끼리 빼는 연산입니다. A - B로 표현합니다.

if i = m, j = n, A - B = C
then c_ij = a_ij - b_ij

 

3.3. 스칼라 곱(Scalar multiplication)

임의의 실수 k가 있을 때, A의 모든 원소에 k를 곱하는 연산입니다. kA로 표현합니다.

if kA = C
then c_ij = k × a_ij

 

3.4. 행렬 곱(Matrix multiplication)

j = m일 때 행렬 곱이 가능하며, AB로 표현합니다. 행렬 곱은 아래와 같은 형태의 연산을 수행합니다. 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않습니다.

if j = m, AB = C
$$\sum_{k=1}^{j} c_in = a_ik × b_kn$$

AB ≠ BA

 

4. 기본행연산(Elementary row operation)

선형 대수학에서 행렬을 변환, 조작하여 행렬을 단순화하거나 특정한 형태로 변환하여 계산을 용이하게 하는 연산입니다. 일반적으로 연립방정식의 해를 구하는 등의 계산을 할 때 사용합니다.

4.1. 행 교환(Interchanging rows)

동일한 행렬 내 2개 행의 위치를 서로 바꿉니다.

(예시)
행렬 A
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

1, 2번째 행 교환 수행
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

4.2. 행 스케일링(Scaling rows)

1개 행의 모든 원소에 스케일곱을 수행합니다.

(예시)
행렬 A
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

1번째 행에 3배 스케일링 수행
\begin{pmatrix}
3 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

4.3. 행 대체

1개 행에 다른 행의 상수배를 더하여 새로운 행을 생성합니다.

(예시)
행렬 A
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

1번째 행에 3번째 행의 -1배 행 대체 수행
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}

 

5. 행렬의 연산법칙

연산법칙	관계
교환 법칙	A + B = B + A AB ≠ BA
결합 법칙	A + (B + C) = (A + B) + C A(BC) = (AB)C (ab)A = a(bA)
항등원	A + O = A A × I = A
역원	A + (-A) = O A × A-1 = I
분배 법칙	(a + b)A = aA + bA a(A + B) = aA + aB A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC

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참조

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